高斯分布公式积分（高斯分布公式）
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光纤传输的波动理论光纤传输的波动理论的两个出发点波动方程和电磁场表达式特征方程和传输模式光纤传输的波动理论的两个角度多模渐变型光纤的模式特性单模光纤的模式特性1. 波动方程和电磁场表达式设光纤没有损耗，折射率n变化很小，在光纤中传播的是角频率为ω的单色光，电磁场与时间t的关系为exp(jωt)，则标量波动方程为 (2.18a) (2.18b)式中，E和H分别为电场和磁场在直角坐标中的任一分量， c为光速。
选用圆柱坐标(r，φ，z)，使z轴与光纤中心轴线一致， 如图2.6所示。
将式(2.18)在圆柱坐标中展开，得到电场的z分量Ez的波动方程为 (2.19)磁场分量Hz的方程和式(2.19)完全相同，不再列出。
解方程(2.19)，求出Ez 和Hz，再通过麦克斯韦方程组求出其他电磁场分量，就得到任意位置的电场和磁场。
把Ez(r, φ, z)分解为Ez(r)、Ez(φ)和Ez(z)。
设光沿光纤轴向(z轴)传输，其传输常数为β，则Ez(z)应为exp(-jβz)。
由于光纤的圆对称性，Ez(φ)应为方位角φ的周期函数， 设为exp( jvφ)，v为整数。
现在Ez(r)为未知函数，利用这些表达式， 电场z分量可以写成 (2.20)把式(2.20)代入式(2.19)得到 (2.21)式中，k=2π/λ=2πf /c=ω/c，λ和f为光的波长和频率。
这样就把分析光纤中的电磁场分布，归结为求解贝塞尔(?Bessel)方程(2.21)。
设纤芯(0≤r≤a)折射率n(r)=n1，包层(r≥a)折射率n(r)=n2，实际上突变型多模光纤和常规单模光纤都满足这个条件。
为求解方程(2.21)，引入无量纲参数u, w和V。
(2.22)利用这些参数， 把式(2.21)分解为两个贝塞尔微分方程： (2.23a) (2.23b)因为光能量要在纤芯(0≤r≤a)中传输， 在r=0处，电磁场应为有限实数；在包层(r≥a)，光能量沿径向r迅速衰减，当r→∞时， 电磁场应消逝为零。
根据这些特点，式(2.23a)的解应取v阶贝塞尔函数Jv(ur/a)，而式(2.23b)的解则应取v阶修正的贝塞尔函数Kv(wr/a)。
因此，在纤芯和包层的电场Ez(r, φ, z)和磁场Hz(r, φ, z)表达式为 (2.24a) (2.24b) (2.24c) (2.24d)式中，脚标1和2分别表示纤芯和包层的电磁场分量，A和B为待定常数，由激励条件确定。
Jv(u)和Kv(w)如图2.7所示，Jv(u)类似振幅衰减的正弦曲线，Kv(w)类似衰减的指数曲线。
式(2.24)表明，光纤传输模式的电磁场分布和性质取决于特征参数u、w和β的值。
u和w决定纤芯和包层横向(r)电磁场的分布，称为横向传输常数；β决定纵向(z)电磁场分布和传输性质，所以称为纵向传输常数。
2. 特征方程和传输模式由式(2.24)确定光纤传输模式的电磁场分布和传输性质， 必须求得u, w和β的值。
由式(2.22)看到，在光纤基本参数nn2、a和k已知的条件下， u和w只和β有关。
利用边界条件，导出β满足的特征方程， 就可以求得β和u、w的值。
由式(2.24)确定电磁场的纵向分量Ez和Hz后，就可以通过麦克斯韦方程组导出电磁场横向分量Er、Hr和Eφ、Hφ的表达式。
因为电磁场强度的切向分量在纤芯包层交界面连续，在r=a处应该有 (2.25)由式(2.24)可知，Ez和Hz已自动满足边界条件的要求。
由Eφ和Hφ的边界条件导出β满足的特征方程为 (2.26)这是一个超越方程，由这个方程和式(2.22)定义的特征参数V联立，就可求得β值。
但数值计算十分复杂，其结果示于图2.8。
图中纵坐标的传输常数β取值范围为 (2.27)相当于归一化传输常数b的取值范围为0≤b≤1， (2.28)横坐标的V称为归一化频率， 根据式(2.22) (2.29)图中每一条曲线表示一个传输模式的β随V的变化， 所以方程(2.26)又称为色散方程。
两种重要的模式特性模式截止: 电磁场介于传输模式和辐射模式的临界状态， 这个状态称为模式截止模式远离截止: 当V→∞时， w增加很快，当w→∞时，u只能增加到一个有限值，这个状态称为模式远离截止模式截止 由修正的贝塞尔函数的性质可知，若要求在包层电磁场消逝为零，必要条件是w>0。
如果w<0， 电磁场将在包层振荡， 传输模式将转换为辐射模式，使能量从包层辐射出去。
w=0(β=n2k)介于传输模式和辐射模式的临界状态， 这个状态称为模式截止。
其u、 w和β值记为uc、wc和βc，此时V=Vc=uc。
对于每个确定的v值，可以从特征方程(2.26)求出一系列uc值，每个uc值对应一定的模式，决定其β值和电磁场分布。
当v=0时，电磁场可分为两类。
一类只有Ez、Er和Hφ分量，Hz=Hr=0，Eφ=0， 这类在传输方向无磁场的模式称为横磁模(波)，记为TM0μ。
另一类只有Hz、Hr和Eφ分量，Ez=Er=0，Hφ=0，这类在传输方向无电场的模式称为横电模(波)，记为TE0μ。
当v≠0时，电磁场六个分量都存在，这些模式称为混合模(波)。
混合模也有两类， 一类Ezvμ，另一类Hzvμ。
下标v和μ都是整数。
第一个下标v是贝塞尔函数的阶数，称为方位角模数，它表示在纤芯沿方位角φ绕一圈电场变化的周期数。
第二个下标μ是贝塞尔函数的根按从小到大排列的序数， 称为径向模数，它表示从纤芯中心(r=0)到纤芯与包层交界面(r=a)电场变化的半周期数。
模式远离截止 当V→∞时， w增加很快，当w→∞时，u只能增加到一个有限值，这个状态称为模式远离截止，其u值记为u∞。
波动方程和特征方程的精确求解都非常繁杂，一般要进行简化。
大多数通信光纤的纤芯与包层相对折射率差Δ都很小(例如Δ<0.01)，因此有n1≈n2≈n和β=nk的近似条件。
这种光纤称为弱导光纤，对于弱导光纤β满足的本征方程可以简化为 (2.30)由此得到的混合模HEv+1μ和EHv-1μ(例如HE31和EH11)传输常数β相近，电磁场可以线性叠加。
用直角坐标代替圆柱坐标，使电磁场由六个分量简化为四个分量，得到Ey、 Hx、 Ez、 Hz或与之正交的Ex、Hy、Ez、Hz。
这些模式称为线性偏振(Linearly Polarized)模，并记为LPvμ。
LP0μ即HE1μ，LP1μ由HE2μ和TE0μ、TM0μ组成，包含4重简并， LPvμ(v>1)由HEv+1μ和EHv-1μ组成，包含4重简并。
若干低阶LPvμ模简化的本征方程和相应的模式截止值uc?和远离截止值u∞列于表2.1，这些低阶模式和相应的V值范围列于表2.2，图2.9示出四个低阶模式的电磁场矢量结构图。
3. 多模渐变型光纤的模式特性传输常数 多模渐变型光纤传输常数的普遍公式为 (2.31)式中， nΔ、 g和k前面已经定义了，M是模式总数， m(β)是传输常数大于β的模式数。
经计算 (2.32a) (2.32b)由式(2.32)看到：对于突变型光纤，g→∞，M=V2/2； 对于平方律渐变型光纤，g=2，M=V2/4。
根据计算分析，在渐变型光纤中， 凡是径向模数μ和方位角模数v的组合满足q=2μ+v (2.33)的模式，都具有相同的传输常数，这些简并模式称为模式群。
q称为主模数，表示模式群的阶数，第q个模式群有2q个模式， 把各模式群的简并度加起来，就得到模式数m(β)=q2。
模式总数M=Q2，Q称为最大主模数，表示模式群总数。
用q和Q代替m(β)和M，从式(2.31)得到第q个模式群的传输常数 (2.34)光强分布 多模渐变型光纤端面的光强分布(又称为近场)P(r)主要由折射率分布n(r)决定， (2.35)式中P(0)为纤芯中心(r=0)的光强，C为修正因子。
用对LP01模给出最佳注入效率的高斯场分布时，归一化模场半径w0/a和注入效率ρ与归一化波长λ/λc或归一化频率V的函数关系双折射和偏振保持光纤 实际光纤难以避免的形状不完善或应力不均匀，必定造成折射率分布各向异性，使两个偏振模具有不同的传输常数(βx≠βy)。
在传输过程要引起偏振态的变化， 我们把两个偏振模传输常数的差(βx-βy)定义为双折射Δβ， 通常用归一化双折射B来表示， (2.39)式中，(βx+βy) / 2为两个传输常数的平均值。
两个正交偏振模的相位差达到2π的光纤长度定义为拍长Lb (2.40)双折射————偏振色散————限制系统的传输容量。
合理的解决办法是通过光纤设计，引入强双折射，把B值增加到足以使偏振态保持不变，或只保存一个偏振模式，实现单模单偏振传输。
强双折射光纤和单模单偏振光纤为偏振保持光纤。
渐变光纤中光线的传播—动画演示。
本文分享完毕，希望对大家有所帮助哦。
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